Movimiento armonico simple

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

En el MAS se habla de una fuerza recuperadora el MAS es un movimiento periodico debido a una fuerza recuperadora el MAS tiene caracter Sinosoidad: funcion seno.

                                                     Elementos del MAS

Amplitud: es la maxima separacion del resorte de suposicion de equilibrio (A).

Elongacion: es la distancia que se encuentra de su suposicion de equilibrio en un momento cualquiera (X)

Periodo:tiempo que tarda el MAS en hacer una vibracion (T).

Frecuencia: numero de vibraciones en la unidad de tiempo (f).

Velocidad :distancia recorrida en un tiempo determinado (v) .

Aceleracion : cambio de velocidad en la unidad de tiempo (a).

Ejercicio:

http://video.google.es/videoplay?docid=-8017232571057549862

Ecuación fundamental del movimiento armónico simple

En la figura se ha representado la posición x de un péndulo que oscila después de haber sido desplazado un pequeño ángulo en función del tiempo. Se han representado dos oscilaciones completas.

Si lo hacemos oscilar desde su posición vertical con un pequeño impulso obtendremos una gráfica similar solo que para t = 0, x = 0. La primera gráfica corresponde a un coseno y la segunda a un seno. Ambas gráficas representan el mismo movimiento con la única diferencia de la posición inicial de oscilación.

Si comparamos el movimiento del péndulo con el de una partícula que describe un movimiento circular, con radio igual a la de la amplitud de la oscilación y el mismo periodo (es decir, ajustamos la w de la partícula para que coincida el T).

	Para un punto cualquiera de la trayectoria tenemos que su posición es x = A cos (w.t). Puesto que A y w son iguales para los dos movimientos y las posiciones respecto del origen van coincidiendo. La ecuación describe los dos movimientos. En general, si la elongación no es A, basta con introducir una fase que ajuste la posición inicial x = A cos (w.t + d). Para t = 0 x = A cos d

Si hablamos de un muelle ocurre exactamente lo mismo.

En general, la ecuación del movimiento armónico simple la escribiremos

x = A.cos (w.t + d)

w.t + d: fase del movimiento. Al cabo de una oscilación completa la fase aumenta en 2.π rad y vuelve a la misma posición cos (w.y + d) = cos (w.t + d + 2.π) d: cte de fase o fase inicial. Si t = 0 se obtiene la posición inicial xo= A.cos d

La ecuación puede escribirse indistintamente en función del seno o del coseno x = A.sen (w.t + d)

A veces conviene usar una u otra:

1- Si hacemos oscilar un muelle o péndulo desde su máxima elongación, debe cumplirse que:

x_o = A en t = 0 ® Ecuación más sencilla es x = A.cos w.t ya que cos 0 = 1. También se podría escribir:

x = A.sen (w.t + π/2) ya que en t = 0 x = A.sen π/2 = A.

- Si la oscilación comienza en la posición de equilibrio se debe cumplir que:

x₀ = 0 en t= 0.

Lo más sencillo es x = A.sen w.t pero también x = A cos (w.t ± π/2)

- Si el movimiento se inicia en una posición intermedia, se puede elegir seno o coseno y calcular d a partir de x_o, A y w.

Ver ejemplo n° 1

Ecuación de la velocidad en el Movimiento armónico simple

x = A cos (wt + d)

v = dx/dt = -w.a.sen (w.t + δ)

La velocidad en un movimiento armónico simple varía de forma armónica (sinusoidal).

Sabemos que sen² (w.t + δ) + cos² (w.t + δ) = 1

sen (w.t +d) = 

v = -w.A sen (w.t + d) = -w.A.

Como la raíz lleva doble signo para cada valor de x hay dos de v (ida y vuelta) v = 

• La velocidad es cero cuando x = ±A (extremos)
• La velocidad es máxima cuando x = 0 (centro) v = ±w.A
• Las gráficas de x y v están desfasadas π/2 ® cos (w.t + π/2) = - sen w.t

Si representamos la posición y la velocidad frente al tiempo

x = A.cos w.t = A.cos (2.π/T).t v = -A.w.sen w.t = -w.A.sen (2.π/T).t

Ver ejemplo n° 2

Ecuación de la aceleración en el Movimiento armónico simple

V = -w.A sen (w.t +d)

a = dv/dt = -w².A.cos (w.t + δ)

Sabemos que v = a.cos (w.t + δ)

a = -w².x La aceleración en un MAS es una función armónica que depende sinusoidalmente de tiempo.

• La aceleración es nula en la posición de equilibrio (x = 0)
• Es máxima en los extremos en cuyo caso vale –w².A
• Sentido opuesto a x

La gráfica está desfasada π respecto de la posición x ® cos (w.t +d) = - cos (w.t)

x = a.cos (2.π/T).t

v = -w.A.sen (2.π/T).t

a = -w².A.cos (2.π/T).t

Ejercicios 

1. Un cuerpo de 0,25 kg de masa está sometido a una fuerza elástica restauradora, con constante de recuperación k = 25 N/m.

a) Dibújense la gráfica de la energía potencial elástica U en función del desplazamiento x en un intervalo de x comprendido entre -0,3m y + 0,3 m. Tómense 1 cm = 1J en el eje vertical y 1 cm = 0,05m en el eje horizontal.

b) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación?.

c) ¿Cuál es la energía potencial cuando el valor de desplazamiento es la mitad que el de la amplitud?.

d) ¿Para que valor del desplazamiento son iguales la energía cinética y potencial?

e) ¿Cuál es la rapidez del cuerpo en el punto medio de su trayectoria?.

f) El período T1.

g) La frecuencia f₁ y

h) La frecuencia angular ω.

i) ¿Cuál es el ángulo de fase inicial θ ₀si la amplitud A = 15 cm, el desplazamiento inicial x₀ = 7,5 cm y la velocidad inicial Vo es negativa?.

Desarrollo

a) El cuerpo inicia su oscilación con energía potencial inicial de 0,6J y energía cinética inicial de 0,2 J. A partir de la gráfica, respóndanse las cuestiones siguientes:

U = k.x ²/2

x	U
0 ±0,05 ± 0,10 ±0,15 ± 0,20 ± 0,25 ± 0,30	0 0,031 0,125 0,281 0,500 0,781 1,125

b) A = ?

E_T = ω ².A ²/2
ω ² = k/m

ω ² = 25/0,25 = 100

A = √2.(0,8)/100 = 0,12 m

c) E_p = k.x ²/2

x = 0,6 m

E_p = 25.0,6/2 = 4 J

d) E_p = k.x ²/2
0,6 = 25.x ²/2
x =± 0,219 m

e) Calcúlense:

E_c = m.v ²/2
v = ±√2.0,2/0,25 = ±1,26 m/s

f) T = 1/f = 0

2.π.f = √k/m

ƒ = √k/m/2.π = √25/0,25/2.π

f = 1,59 Hz

T = 0,628 s

g) f = 1,59 Hz

h) ω = ?

k = m. ω ²

ω = √k/m = √25/0,25

ω = 10 rad/s

i) La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación:

X = A.cos.(ω.t + θ _o)

entonces no da que:

X = A.cos. θ _o

por lo que para este caso como son las condiciones iniciales (t = 0) se deduce que:

ω.t 0

nos da por consiguiente:

7,5 = 15.cos θ ₀
θ₀ = arc cos (7,5/15) = 1,047 rad.

2.  Un cuerpo está vibrando con movimiento armónico simple de 15 cm de amplitud y 4Hz de frecuencia, calcúlense:

a) Los valores máximos de la aceleración y de la velocidad.

b) La aceleración y la velocidad cuando el desplazamiento es 9 cm, y.

c) El tiempo necesario para desplazarse desde la posición de equilibrio a un punto situado a 12 cm de la misma.

Desarrollo

a)

A = 15 cm

F = 4 Hz

a _máximo = ?

V _máximo = ?

a = -A. ω ².cos ω .t

a _máximo = A. ω ²

a _máximo = 15.25 ²

a _máximo = 9375 cm/s ² = 93,75 m/s ²

ω = 2.π.f

ω = 2.π.4

ω = 25

V _máximo = ω .A

25.0,15 = 3,76 m/s

b)

a = ? y la V = ? cuando x = 9 cm

a = - ω ².x

a = -25 ².9

a = -56,84 m/s ²

V = ± 3,02 m/s

c)

x = A.cos ω.t

12/15 = cos 25.t

cos 25.t =0,8

25.t = cos^-1 0,8

25.t = 0,64

t = 0,025 s

3. Un cuerpo de 2 kg. De masa está suspendido de un resorte de masa despreciable, y se produce un alargamiento de 20 cm.

a) ¿Cuál es la constante de recuperación del resorte?.

b) ¿Cuál es el período de oscilación del cuerpo si se tira hacia abajo y se abandona así mismo?.

c) ¿Cuál sería el período de un cuerpo de 4 kg de masa pendiente del mismo resorte?.

Desarrollo

a)

F = -k.x

m.g/x = k

k = 2.9,8/0,2 = 98 N/m

b)

k = m. ω ²

ω = √k/m = 7 rad/s

ω = 2.π.f

f = ω /2.π = 1,11 Hz

T = 1/f = 0,89 s

c)

m = 4 kg

ω = 4,94 rad.s^-1

T = 1,26 s

MOVIMIENTO ONDULATORIO.

Onda: es una perturvacion que se desplaza en unu medio.

en el movimiento ondulatorio no hay desplazamiento de masa se desplaza la energia 

CLASIFICACION DE ONDAS:

segun el medio de propagacion 

ondas mecanicas: necesitan un medio para propagarse ej: ondas en el agua 

ondas electromagneticas: no necesitan un medio para propagarse, se propagan en el basio ej. ondas de radio.

segun el numero de ocsilacion

pulso o perturbación: es una onda que se forma cuando se perturva una sola vez un medio

ondas periódicas:  cuando el movimiento se detiene 

según la dirección de propagación. 

• unidimensional: una dirección ej: ondas en un resorte 
• bidimencional: dos direcciones ej: ondas en el agua 
• tridimencional: tres direcciones ej: la luz 

según su desplazamiento

• longitudinales: cuando vibran en la misma dirección del movimiento ej: ondas en el resorte 
• transversales:cuando vibran perpendicularmente a su movimiento ej: ondas en el agua

FENÓMENOS  ONDULATORIOS 

1. unidimencionales 

REFLEXION   el fenómeno que ocurre cuando una onda choca con un obstáculo y se regresa se llama REFLEXIÓN.

REFRACCÓN cuando una onda cambia de propagación, cambia su velocidad de propagación, este fenómeno se llama REFRACCON.

en este caso, cambia su longitud de ondas pero su frecuencia se mantiene 

POLARIZACIÓN: cuando se reduce los planos de vibración de una onda a uno solo, se dice que la onda se a POLARIZADO 

INTERFERENCIA cuando 2 o mas movimientos ondulatorios se encuentran, se produce una INTERFERENCIA. la interferencia puede ser: 

• por anulación (el movimiento ondulatorio desaparece)  
• por refuerzo (el movimiento ondulatorio desaparece)   
• en este caso, los movimientos se suman algebraicamente   

BIDIMENCIONALES: (ondas en el agua)